[이차방정식의 근의 공식]

a \ne 0 이면, 2차방정식 ax^2 + bx + c = 0 의 두 근은

         x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}

이다.

(증명)

\[ ax^2 + bx + c = 0 \] \[ \therefore x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \] \[ \therefore x^2 + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a} \] \[ \therefore x^2 + \frac{b}{a} x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a} \] \[ \therefore \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} \] \[ \therefore \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2- 4ac}{4a^2} \] \[ \therefore x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2- 4ac}}{2a} \] \[ \therefore x = - \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2- 4ac}}{2a} \] \[ \therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a} \]



[참고]

a, b, c가 모두 실수라고 가정하자(단 a \neq 0). 그리고 저 근의 공식에서 제곱근 기호 속의 값 b^2 - 4ac 을 간단히 D 라고 하자. 즉, D = b^2 - 4ac 로 놓자. 그러면 저 이차방정식은

  1. D > 0 일 때, 서로 다른 두 실근을 가지고,
  2. D = 0 일 때, 중근을 가지고,
  3. D < 0 일 때, 서로 공액인 두 허근을 갖는다.

이런 이유로, D = b^2 - 4ac 를 주어진 저 이차방정식의 판별식(discriminant)이라고 한다,


Posted by Scripter

댓글을 달아 주세요