두 자리 수 곱셈 계산 쉽게 하기

십의 자리수가 같고 1의 자리수를 합하면 10이 되는 두 자연수위 솝셈을 쉽고 빨리 계산하는 방법을 소개 한다.


     25              75            81           63           19
x)  25         x)   75       x)  89       x)  67      x)  11
   625            5625        7209         4221        209


1의 자리수를 곱하여 그 아래에 자리를 맞추어 적어둔다.
그 왼 쪽에는 10의 자리수 둘 중 하나만 플러스 1 하여 서로 곱한다. 예를 들어 25*25의 경우에는 10의 자리수가 2와 2인데 둘 중 하나만 플러스 1 하면 3과 2가 된다. 이 둘을 곱하면 6이다. 이를 또 그 밑에 1의 자리수 곱하여 적어둔 그 좌측에 자리를 맞추어 붙여주면 계산이 끝난다.

이 과정을 좀 더 상세하게 설명하면


                 25
            x)  25
                 25    <--------  (1의 자리수의 곱 5*5의 결과)

                 25
            x)  25
               625
               |
                 |
                 +------  (10의 자리 2*(2+1) = 2*3 의 결과)



그러면 10의 자리수는 같지만 1의 자리수의 합이 10이 아닌 경우에는 어떻게 해야 할까?
예를 들에 28*23 을 계산해 보자. (8+3 = 11 이는 10보다 1 넘친다.)

                 28
            x)  23
               624    <-----  (25*25 처럼 계산한 값)
          +)    2     <-----  (넘친 값과 십의 자리수의 곱 1*2)
              644    <-----  (넘친 경우에는 덧셈을 한다)


이를 보통의 방법으로 계산해 보면

                 28
            x)  23
                 84
               56   
               644


이제 10의 자리수는 같고 1의 자리수 합이 10이 안되는 두 자연수의 곱셈을 계산해 보자.
예를 들어 65*63 을 계산해 본다.

                 65
            x)  63
             4215    <-----  (25*25 처럼 계산한 값)
          -)  12      <-----  (부족한 값과 십의 자리수의 곱 2*6)
             4095    <-----  (부족한 경우에는 뺄셈을 한다)


이를 보통의 방법으로 계산해 보면

                 65
            x)  63
               195
             390  
             4095


이를 응용하면 19단 계산을 암기하지 않더라도 빨리 할 수 있다.

                 19
            x)  17
               263
          +)    6     <-----  (넘친 값과 십의 자리수의 곱 6*1)
              323    <-----  (넘친 경우이므로 덧셈을 한다)



           12
      x)  15
         210
     -)   3       <-----  (부족한 값과 십의 자리수의 곱 3*1)
         180    <-----  (부족한 경우에는 뺄셈을 한다)



이제 십의 자리가 다른 두 수의 곱셈도 해보자. (이는 Karatsuba(카라슈바))의 곱셈 계산법이라고 한다.)
중학교나 고1 수학에서 공부하는 전개 공식 (ax + b)(cx + d) = abx x^2 + (ad+bc) x + bd 를 떠올리면 그 원리를 쉽게 이해할 수 있다. 여기서 x = 10인 경우가 십집법 두 자리 수의 곱셈이기 때문이다. 특이 전개식에서 x의 1차항의 계수가 ad + bc 임에 유의하자,

                 46
            x)  83
             3218     <-----  (십의 자리수 곱과 일의 자리수 곱)
          +)  60      <-----  (ad + bc = 4*3 + 8*6 = 60)
             3818    <-----  (무조건 더한다.)

(ac = 32 와 bd = 18 은 미리 계산되어 있으므로) 위의 ad + bc 는 다음 처럼 계산하면 (덧셈 뺄셈 회수는 늘어나지만) 곱셈 회수가 한번 줄어든다.

    ad + bc = (a + b)(c + d) - ac - bd = (4 + 6)(8 + 3) - 32 - 18 = 110 - 50 = 60


보통의 방법으로 곱하면

           46
      x)  83
         138
       368 
       3818

암기하기 어려운 19단 계산도 Karatsuba 곱셈 계산법으로 해보자.

             14
      x)  17
         128
         11  
         238


두 자리수 정수의 제곱(2승) 계산하기에는 Karatsuba 곱셈 계산법이 딱이다.

            18                  26                  74
     x)  18              x)  26             x)  74
         164                436               4916 
         16                  24                  56  
         324                676               5476



11~19 범위의 두 자리수를 곱하는 손쉬운 방법을 소개한다. (이 방법은 19단 암기에 써 먹어도 좋다.)

둘째 수의 1의 자리수를 첫째 수에 합하고 0을 붙여서(즉, 10배 하여) 기억한다.
두 수의 1의 자리를 서로 곱한 값을 기억했던 값에 합한다.

예를 들어, 18*13 의 경우,
    18+3 = 21 이므로 여기에 0을 붙인 수 210을 기억한다.
    1의 자리수를 곱한 8*3=24 를 기억해둔 값에 합한다. 210 + 24 = 234

                 18*13 = (18 + 3)*10 + 8*3 = 210 + 24 = 234
                 16*17 = (16 + 7)*10 + 6*7 = 230 + 42 = 272
                 14*19 = (14 + 9)*10 + 4*9 = 230 + 36 = 266


            18                  16                  14
     x)  13              x)  17             x)  19
        21                  23                  23 
          24                  42                  36   
         234                272                266



참고 자료 1: 겔로시아 곱셈법-격자곱셈법
참고 자료 2: 스와미 바라티 크리슈나의 베다 수학 (Swami Bharati Krishna Tirtha's Vedic mathematics)
참고 자료 3: 계산이 빨라지는 인도 베다수학
참고 자료 4: 인도베다 수학_19단을 외어 보자~
참고 자료 5: 격자곱셈법이 뭔가요??  
참고 자료 6: 바둑산수_곱셈
동영상 1: 손가락 구구단
동영상 2: 구구단 인도수학 손가락 계산법 6단~10단




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